Esami di Stato 1999-2000

SECONDA PROVA SCRITTA

 

LICEO SCIENTIFICO TECNOLOGICO

Progetto Brocca

Prova di Matematica

Il candidato scelga a suo piacimento due dei seguenti problemi e li risolva:

  1. Sia f(x) una funzione reale di variabile reale tale che valgano le seguenti condizioni:
    f(xo) > 0, f’(xo) > 0, f’’(xo)=0,
    dove xo è un particolare valore reale.
    1. Spiegare perché tali condizioni non sono sufficienti a determinare l’andamento di f(x) in un intorno di xo.
    2. Trovare almeno tre funzioni polinominali f(x), di grado superiore al 1°, aventi andamenti diversi in xo=0, tali che:
      f(0)=1, f’(0)=1, f’’(0)=0.
    3. Determinare, se possibile, tutte le retti tangenti ai grafici delle funzioni trovate e parallele alla retta di equazione y=x+1.
    4. A completamento del problema dimostrare la formula che esprime la derivata, rispetto ad x, della funzione x’’, dove n è un intero qualsiasi non nullo.

  2. Nel piano, riferito ad un sistema monometrico di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnati i punti: A (0,2), B (1,1), C (1,0).
    1. Trovare l’equazione della circonferenza iota inscritta nel triangolo OAB.
    2. Determinare le equazioni dell’affinità alfa che ha come punti uniti i punti O e C e trasforma il punto B nel punto A.
    3. Calcolare l’area del triangolo CAA’, dove A’ è il punto trasformato di A nell’affinità alfa.
    4. Stabilire se l’affinità alfa ha altri punti uniti, oltre ad O e C, e trovare le sue rette unite.
    5. Stabilire quali, fra le rette unite trovate, risultanto tangenti o esterne a iota.

  3. Assegnata la funzione:
    f(x)=alog2 x+blogx
    dove il logaritmo si intende in base e, il candidato:
    1. determini per quali valori di a e b la f(x) ha un minimo relativo nel punto (V¯e; - 1/4);
    2. disegni la curva grafico della f(x) per il valori di a e b così ottenuti e calcoli l’area della regione finita da essa delimitata con l’asse x.

    Calcoli infine la probabilità che lanciando un dato cinque volte, esca per tre volte lo stesso numero.
    4.